Latihan Barisan dan Deret Geometri

1.      Diketahui barisan geometri 2, 4, 8, 16, …, 512. Tentukan:

a.       Suku tengah

b.      Suku keberapakah suku tengahnya

c.       Banyak suku barisan tersebut

2.      Diketahui barisan geometri dengan suku pertama adalah 1 dan suku kedelapan adalah 128. Tentukan suku kesepuluh barisan tersebut!

3.      Diketahui barisan geometri 1, 8, 64, … . Di antara masing-masing suku yang berurutan disisipkan dua suku sehingga membentuk barisan geometri baru. Tentukan rasio dan suku ke-18 dari suku yang baru tersebut!

4.      Tentukan jumlah 8 suku pertama deret geometri 4 + 8 + 16 + … !

5.      Hitunglah jumlah dari 5 + 5/2 + 5/4 + 5/8+ … !

6.      Hitunglah jumlah deret geometri tak hingga dari 12 + 8 + 5.1/3 + … !

7.      Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah tiga bilangan itu adalah 147 dan hasil kalinya adalah 21952. Tentukan barisan geometri tersebut!

8.      Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah (4 + 2V2) sedangkan rasionya adalah 1/2 V2. Tentukan suku pertama deret tersebut!

9.      Suatu kota pada awal tahun 2006 berjumlah 10.000 orang. Jika setiap tahun penduduk kota bertambah 5%, tentukan jumlah penduduk pada akhir tahun 2010!

Penyelesaian :

1. Diketahui a = 2,              r = 2,                U_{2k – 1} = 512
   a) U_{t = akar dari (}U₁× U_{2t – 1)} = 32                     

b) U_t = ar^{t – 1}                  

32= 2 . 2^t-1

16=  2^t-1

2⁴ = 2^t-1

4  = t – 1

t  = 5                        

c) Banyak suku barisan tersebut adalah 2k – 1 = 2(5) – 1 = 9             

2. U₈ = ar⁷              

128 = 1.r⁷

r⁷    = 128

r     = 2              

Suku ke-10 = U₁₀ = ar⁹             

  U₁₀ = 1. (2)⁹

        = 512           

3. Diketahui barisan geometri 1, 8, 64, …

a = 1,                  r = 8,                k = 2               

Karena k = 2 adalah genap, maka:                      

U₁₈ = 1 . 2^{18 – 1}               

= 2¹⁷

= 131.072              

4. Diketahui a = 4,              r = 2                

S_n = a(rⁿ-1) / (r-1)

S₈ = 4(2⁸-1) / (2-1) = 4 (255) = 1020

5. diket  a = 5,        r = 1/2

S = lim_n- S_n = 5 / 1- ½ = 10

Jadi, jumlah dari 5 + 5/2 + 5/4 + 5/8 + … adalah 10.

6. diket a = 12,       r = 2/3

S = a : 1-r = 12 : 1- 2/3 = 36

7. Misalkan tiga bilangan itu adalah p/q, p, pr

Hasil kali ketiga bilangan itu adalah p³= 21952

p = 28

dengan demikian 28/r + 28 + 28r = 147

    28 + 28r + 28r² = 147r

      28r² - 119r + 28 = 0

           4r² – 17r + 4 = 0

         (4r - 1) (r – 4) = 0

           r = ¼  atau r = 4

Untuk r = ¼, barisan bilangannya adalah 112, 28, 7

Untuk r  = 4, barisan bilangannya adalah 7, 28, 112

8.  S~ = a / 1-r

      a = S~ (1 – r)

= (4 + 2V2) (1 – ½ V2)

= 4 – 2V2 + 2V2 – 2

= 2

9. Diket. a = 10000,           U₂ = 10000 + (5% × 10000) = 10500

 r = ( 1 + 5% )

Ditanya. Jumlah penduduk pada akhir tahun 2010 = U₅ !

Jawab:

U₅ = a . r^n-1

 = 10000 (1 + 5%)^5-1

 = 10000 (1 + 5%)⁴

 = 10000 (1,2155)

 = 12155,06

Latihan Barisan dan Deret Aritmatika

1.    Tuliskan 3 suku berikutnya dari pola bilangan dibawah ini:

a.       2, 5, 8, 11, 14,…

b.      61, 54, 47, 40,…           

2.    Tulislah tiap deret berikut:

a.       6 bilangan ganjil

b.      5 bilangan prima

3.    Tulislah 4 suku yang pertama dari barisan dengan rumus berikut:

a.       U_n = n²/2                     b. U_n = ( ½ )ⁿ

4.    Tentukan suku ke-n (U_n)dari barisan berikut:

a.       3, 7, 11, 15,…

b.      2, 8, 14, 20, …

5.    Diketahui barisan suatu bilangan 2, 4, 6, 8, 10… tentukan:

a.       Suku pertama

b.      Beda

c.       Rumus suku ke-n

d.      Suku ke-15.

6.    Suku ke-6 dari suatu barisan aritmatika adalah 19, sedangkan suku ke-10 samadengan 31. Tentukan:

a.       Suku pertama dan Beda

b.      Rumus suku ke-n

c.       Suku ke-20

7.    Diketahui barisan aritmatika 147, 143, 139, 135, …

a.       Tentukan beda dari barisan aritmatika tersebut !

b.      Suku keberapakah yang mempunyai nilai -1 ?

8.    Suatu barisan aritmatika diketahui suku keduanya 7, suku keempatnya 17, dan suku terakhirnya 52. Tentukan banyaknya suku barisan tersebut!

9.    Andi membuka rekening di Bank, pada bulan pertama ia menabung sebesar Rp 100.000,00. Jumlah setoran akan ia naikkan sebesar Rp 20.000,00 dari setiap bulannya. Tentukan:

a.       Besar tabungan Andi pada bulan ke-10 !

b.      Pada bulan keberapakah jumlah setoran Andi Rp 304.000,00 ?

10.    Tentukan jumlah semua bilangan bulat positif antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 !

11.    Diketahui rumus suku ke-n deret aritmatika U_n= 5 – 3n. Hitunglah jumlah 15 suku pertama dari deret tersebut!

Penyelesaian :

1.    a. 3 suku berikutnya dari pola bilangan 2, 5, 8, 11, 14, … adalah 17, 20, 23  

b. 3 suku berikutnya dari pola bilangan 61, 54, 47, 40, … adalah 33, 26, 19 

2.    Tulislah tiap deret dari

a.    6 bilangan ganjil                                                            b. 5 bilangan prima

     1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11                                                       2 + 3 + 5 + 7 + 11 

3.    a. 4 suku yang pertama dari barisan dengan rumus Un = n²/2  adalah: 

U₁ = 1² : 2 = ½               U₃ = 3² : 2 = 9/2

U₂ = 2² : 2 = 2                U₄ = 4² : 2 = 8

b. 4 suku yang pertama dari barisan dengan rumus U_n = ( ½ )ⁿ adalah: 

U₁ = ( ½ )¹ = ½

U₂ = ( ½ )² = ¼

U₃ = ( ½ )³ = 1/8

U₄ = ( ½ )⁴ = 1/16

4.    Suku ke-n dari barisan 3, 7, 11, 15, … adalah U_n = 4n -1 

Suku ke-n dari barisan 2, 8, 14, 20, … adalah U_n = 6n - 4 

5.    Diketahui: Barisan suatu bilangan 2, 4, 6, 8, 10, …

a.       Suku Pertamanya adalah 2

b.      Bedanya adalah 2                                                             

c.       Rumus suku ke-n adalah 2n

d.      Suku ke-15 adalah 2 x 15 = 30

6.    a.) U₁ = 4 dan b = 3

b) U_n = 3n + 1                   

c) U₂₀= 61

7.    a) b = 143 – 147 = -4                     

b) -1 = 147 + (n-1) (-4)      

    -1 = 147 + (-4n) + 4

    -1 = 151 + (-4n)

4n = 151 + 1

 n  = 38

8.    Diket. U₂ = 7,                     U₄ = 17,             U_n = 52                     

Ditanya. n = … ?

Jawab.

a + b   = 7

a + 3b = 17

               - 2b  = - 10

b   = 5

a + b = 7

a = 7 – 5

a = 2

U_n = a + (n-1) b

52  = 2 + (n-1) 5

52  = 2 + 5n – 5

52  = 5n – 3

52 + 3 = 5n

n         = 11       

9. a) Jumlah setoran andi setiap bulannya dapat dituliskan dengan barisan berikut.

100.000, 120.000, 140.000, …

a = 100.000               b = 20.000

Un  = a + (n-1) b

U₁₀ = a + (10-1) b

= 100.000 + (10-1) 20.000

= 100.000 + 180.000

= 280.000

Jadi, tabungan Andi pada bulan ke-10 besarnya adalah Rp 280.000,00 

b)  Un  = a + (n-1) b

340.000 = 100.000 + (n-1) 20.000

340.000 = 100.000 + 20.000n – 20.000

340.000 – 80.000 = 20.000n

260.000                = 20.000n

n                           = 13

jadi, tabungan Andi sebesar Rp 340.000,00 yaitu pada bulan ke-13

10.  105 + 110 + 115 + … + 295

a = 105,           b = 5,               U_n = 295

Sn   = n/2  ( a + Un ) S39 = 39/2 ( 105 + 295 ) =39/2 ( 400 ) = 7.800

U_n  = a + (n-1) b

295 = 105 + (n-1) 5

295 = 105 + 5n – 5

295 – 100 = 5n

195           = 5n

                                                             n               = 39

11. U₁   = 5 – 3 (1) = 2

U₁₅ = 5 – 3 (15) = - 40                        

S₁₅ = 15/2 (2 + (-40)) = - 285