Latihan Barisan dan Deret Geometri

1.      Diketahui barisan geometri 2, 4, 8, 16, …, 512. Tentukan:

a.       Suku tengah

b.      Suku keberapakah suku tengahnya

c.       Banyak suku barisan tersebut

2.      Diketahui barisan geometri dengan suku pertama adalah 1 dan suku kedelapan adalah 128. Tentukan suku kesepuluh barisan tersebut!

3.      Diketahui barisan geometri 1, 8, 64, … . Di antara masing-masing suku yang berurutan disisipkan dua suku sehingga membentuk barisan geometri baru. Tentukan rasio dan suku ke-18 dari suku yang baru tersebut!

4.      Tentukan jumlah 8 suku pertama deret geometri 4 + 8 + 16 + … !

5.      Hitunglah jumlah dari 5 + 5/2 + 5/4 + 5/8+ … !

6.      Hitunglah jumlah deret geometri tak hingga dari 12 + 8 + 5.1/3 + … !

7.      Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah tiga bilangan itu adalah 147 dan hasil kalinya adalah 21952. Tentukan barisan geometri tersebut!

8.      Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah (4 + 2V2) sedangkan rasionya adalah 1/2 V2. Tentukan suku pertama deret tersebut!

9.      Suatu kota pada awal tahun 2006 berjumlah 10.000 orang. Jika setiap tahun penduduk kota bertambah 5%, tentukan jumlah penduduk pada akhir tahun 2010!

Penyelesaian :

1. Diketahui a = 2,              r = 2,                U_{2k – 1} = 512
   a) U_{t = akar dari (}U₁× U_{2t – 1)} = 32                     

b) U_t = ar^{t – 1}                  

32= 2 . 2^t-1

16=  2^t-1

2⁴ = 2^t-1

4  = t – 1

t  = 5                        

c) Banyak suku barisan tersebut adalah 2k – 1 = 2(5) – 1 = 9             

2. U₈ = ar⁷              

128 = 1.r⁷

r⁷    = 128

r     = 2              

Suku ke-10 = U₁₀ = ar⁹             

  U₁₀ = 1. (2)⁹

        = 512           

3. Diketahui barisan geometri 1, 8, 64, …

a = 1,                  r = 8,                k = 2               

Karena k = 2 adalah genap, maka:                      

U₁₈ = 1 . 2^{18 – 1}               

= 2¹⁷

= 131.072              

4. Diketahui a = 4,              r = 2                

S_n = a(rⁿ-1) / (r-1)

S₈ = 4(2⁸-1) / (2-1) = 4 (255) = 1020

5. diket  a = 5,        r = 1/2

S = lim_n- S_n = 5 / 1- ½ = 10

Jadi, jumlah dari 5 + 5/2 + 5/4 + 5/8 + … adalah 10.

6. diket a = 12,       r = 2/3

S = a : 1-r = 12 : 1- 2/3 = 36

7. Misalkan tiga bilangan itu adalah p/q, p, pr

Hasil kali ketiga bilangan itu adalah p³= 21952

p = 28

dengan demikian 28/r + 28 + 28r = 147

    28 + 28r + 28r² = 147r

      28r² - 119r + 28 = 0

           4r² – 17r + 4 = 0

         (4r - 1) (r – 4) = 0

           r = ¼  atau r = 4

Untuk r = ¼, barisan bilangannya adalah 112, 28, 7

Untuk r  = 4, barisan bilangannya adalah 7, 28, 112

8.  S~ = a / 1-r

      a = S~ (1 – r)

= (4 + 2V2) (1 – ½ V2)

= 4 – 2V2 + 2V2 – 2

= 2

9. Diket. a = 10000,           U₂ = 10000 + (5% × 10000) = 10500

 r = ( 1 + 5% )

Ditanya. Jumlah penduduk pada akhir tahun 2010 = U₅ !

Jawab:

U₅ = a . r^n-1

 = 10000 (1 + 5%)^5-1

 = 10000 (1 + 5%)⁴

 = 10000 (1,2155)

 = 12155,06