Barisan dan Deret Geometri

1) Barisan Geometri

Secara umum didapat : U₁, U₂, U₃, U₄, … disebut barisan geometri, yang berlaku :

U₂/U₁ = U₃/U₄ = ... = U_n/U_n-1 = r ,

Jadi rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah :

Un = a.rn-1

Un = suku ke-n barisan geometri a    = suku pertama r     = rasio n    = banyaknya suku

Contoh :

Di antara 12 dan 48 disisipi 8 bilangan sehingga terjadi barisan aritmatika. Tentukan beda yang baru dan barisan yang terbentuk!

Jawab:

b = 48 – 12 = 36

k = 8

b’ = 36 / (8+1)

Sehingga barisan yang terbentuk: 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48

Suku Tengah dan Sisipan Barisan Geometri

Suatu barisan geometri mempunyai suku tengah apabila banyaknya sukunya ganjil. Jika suatu barisan geometri dengan banyak suku n = 2t – 1, maka suku tengahnya adalah suku ke-t.

Suku tengah barisan geometri dirumuskan dengan: U_t =  akar dari U₁ x Un

Contoh :

Suku tengah barisan geometri adalah 16. Jika rasionya 2 dan suku ke-7 adalah 64. Tentukan suku terakhirnya!

Jawab:

r   = 2 dan U₁= 16

U₇= a.r⁶ = a.2⁶ = 64 → a = 1

U_t  = akar dari U₁ x Un

16 = akar dari 1 x Un

U_n= 256

Jadi, suku terakhir barisan tersebut adalah 256.

Apabila di antara setiap dua suku berurutan pada barisan geometri disisipkan sebanyak t suku sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkkan membentuk barisan geometri, maka rasio barisan geometri yang terbentuk adalah:

r’ = akar r^1/(t+1)

n’ = n + ( n-1 ) t

2) Deret Geometri

Jika U₁, U₂, U₃,  … , Un merupakan barisan geometri, maka :

U₁+ U₂ + U₃ +  … + Un dinamakan deret geometri.

Seperti halnya pada deret aritmetika, jumlah n suku pertama dari deret geometri dilambangkan dengan Sn. Jadi untuk deret geometri :

  Sn = U₁+ U₂ + U₃ +  … + Un

  Sn = a + ar + ar² + … + ar^n-1

r.Sn = ar + ar² + ar³ + ...+ ar^n-1 + arⁿ

Sn – r.Sn = a - arⁿ

(1-r)Sn    = a(1-rⁿ)

                    Sn       = a(1-rⁿ) / (1-r)               untuk r kurang dari 1

Sn       = a(rⁿ-1) / (r-1)               untuk r lebih dari 1

Deret Geometri tak berhingga

Deret Geometri tak berhingga merupakan deret geometri yang banyak sukunya tak berhingga.

Macam deret geometri tak berhingga :

a. Deret Geometri tak berhingga yang konvergen (mengumpul).

     Deret geometri tak berhingga konvergen adalah deret geometri dengan½r½kurang dari 1 atau (–1) kurang dari r kurang dari 1.

Jumlah deret geometri tak berhingga yang konvergen dirumuskan : 

S_~ = a/(1-r)

b. Deret geometri tak berhingga yang divergen (menyebar).

Deret geometri tak berhingga yang divergen adalah deret geometri tak berhingga dengan harga mutlaaaaaaaaak dari r > 1 atau  r >1 atau r < -1 .

Jumlah deret geometri tak berhingga divergen tidak terdefinisi.